سوف نحاول في هذا المقال التوصل الى علاقة أينشتاين الشهيرة ξ = m₀.C² حيث ξ تمثل طاقة الجسيم و m₀ تمثل الكتلة السكونية للجسيم .

المجال الكهربائي الذي يخلقه إلكترون ذو الشحنة q في الفضاء المحيط به هو :

لدينا :

E = q/4πε₀r²

و إذا كان في حالة حركة بسرعة V فإنه يخلق المجال المغناطيسي التالي :

B = µ₀qV/4πr²

مع العلم أن سرعة الإلكترون هنا جد صغيرة مقارنة مع سرعة الضوء :

V << C

نقسم منظم المجالين على بعض فنحصل على التالي :

E/B = (q/4πε₀r²) × (4πr²/ µ₀qV)

ومنه فإن :

E.q.V = q.B/µ₀ε₀ (1)

لدينا العلاقة التي تجمع سرعة الضوء بسماحية الفضاء للمجال الكهربائي ε₀ و نفاذيته للمجال المغناطيسي µ₀ كالتالي :

C² = 1/µ₀ε₀

: نعوض في العلا قة (1)

E.q.V = q.B.C²

لدينا القوة الكهربائية :

Fe = q.E

ومنه :

Fe.V = q.B.C² (2)

تعرف القدرة P بأنها هي سرعة تغير الطاقة ξ خلال الزمن حسب العلاقة :

P = ξ/∆t (3)

وتعرف كذلك على أنها هي القوة المشغلة Fe ضرب سرعة المتحرك V :

P = Fe.V

: نعوض في (3)

Fe.V = ξ/∆t

: ومنه تصبح العلاقة (2) بعد التعويض

ξ/∆t = q.B.C²

ومنه :

ξ = q.∆t.B.C² (4)

لدينا من خلال منظم القوة المغناطيسية العلاقة التالية :

Fm = q.V.B

وحسب القانون الثاني لنيوتن يمكن أن نحدد علاقة القوة المغناطيسية بدلالة التسارع :

q.V.B = m₀.a (5)

وبما أن التسارع يمثل تغير السرعة بدلالة الزمن فإن :

a = ∆V/∆t = (V – V₀)/∆t

نختار السرعة البدئية منعدمة V₀ = 0 ومنه :

a = V /∆t

: فتصبح العلاقة (5) كالتالي

q.V.B = m₀.V/∆t

نختزل بالسرعة V من كلا الطرفين :

B = m₀/q.∆t

ثم نعوض المجال المغناطيسي B بقيمته في العلاقة في (4):

ξ = q.∆t.B.C² = q.∆t.C².m₀/q.∆t

نختزل ب q.∆t فنحصل على :

ξ = m₀.C²

وأخيراً حصلنا على العلاقة الشهيرة لأينشتاين و التي تبين العلاقة بين الكتلة السكونية m₀ و الطاقة ξ و الثابت الكوني C .

• في حالة السرعات القريبة من سرعة الضوء

يمكننا أن نضرب الكتلة السكونية m₀ في معامل لورنتز ℘ في حالة السرعات القريبة من سرعة الضوء C فتصبح العلاقة السابقة على الشكل التالي :

ξ = ℘.m₀.C²

حيث أن معامل لورنتز هو :

℘ = 1/√(1 – V²/C²)

• ملاحظة

تجدر الإشارة هنا الى أنه هذا البرهان لم يستعمل إلا الفيزياء الكلاسيكية و لا يجوز إستعماله على أساس أنه برهان حقيقي للعلاقة لأننا هنا إعتمادنا كثيراً في برهاننا على التحليل البعدي للعلاقات أكثر مما إعتمدنا على معطيات الوضعية المدروسة . كان هدفنا هنا هو وضع صورة تقريبية للمتعلم بحيث يستطيع أن يرى بأم عينيه أن هذه العلاقة التي أتت بها النسبية صحيحة و لا غبار عليها ، لأنه حتى اللحظة هناك من ينكر وجودها وأنه فقط محض ضرب من الخيال ، و السبب في ذلك أن النسبية صعبة الفهم قليلاً و تتطلب من الباحث عن الحقيقة أن يكون مُلماً بالفيزياء الكلاسيكية جيداً قبل أن يحاول دراسة النسبية .

إخترت الرمز ξ للتعبير عن الطاقة بدل الرمز E حتى لا يقع خلط بين الطاقة و المجال الكهربائي !

• مصطلحات :

• Permitivité : السماحية
• Permeabilité : النفاذية
• Puissance : قدرة
• Analyse dimenstionnelle : التحليل البعدي
• Facteur de Lorentz : معامل لورنتز

إعداد : شعيب المستعين Choaib El Moustaine

التدقيق اللغوي : نادية بوحفص